Если в каждом из них переставим переменные, то есть всюду вместо поставим , и вместо поставим , то получим тождественно равные им выражения:
; ;
Такие
выражения называются симметрическим относительно этих переменных.
Наиболее простыми симметрическими выражения относительно двух переменных
являются сумма и произведение этих переменных, то есть и .
Через и можно выражать любое рациональное симметрическое выражение относительно и . Например:
1) ;
2) . Простейшие
симметрические выражения относительно корней квадратного уравнения
встречаются в теореме Виета. Это позволяет использовать их при решении
некоторых задач, относящихся к квадратным уравнениям. Рассмотрим ряд
примеров.
Пример 1:
Квадратное уравнение имеет корни и . Не решая этого уравнения, выразим через и суммы , . Выражение симметрическое относительно и . Выразим их через + и , а затем применим теорему Виета.
.
.
Пример 2:
Найдем такое значение , при котором сумма квадратов корней уравнения равна 13.
Пусть и корни уравнения . То условию =13. Левая часть последнего равенства симметрическое выражение относительно и . Выразим его через + и . Получим уравнение:
, т.к. , а , то получим .
Отсюда .
^
Решение симметрических систем уравнений.
Если оба уравнения системы являются симметрическими многочленами от и , то систему уравнений называют симметрической системой уравнений. При их решении полезной бывает такая замена неизвестных: , . Пример 3: Решим систему уравнений Решение. Сделаем замену неизвестных , .Система примет вид:
Сложив эти уравнения получим уравнение с корнями .
Соответственно , . Остается решить систему уравнений:
а) и б) Система а) имеет решения ; .
Система б) решений не имеет. Ответ:
^
Симметрия графиков функций.
О симметрии графиков функций уместно говорить, когда функция является четной или нечетной. Вспомним определения:
- Если для всех из области определения функции , то функция называется нечетной, например:
Рис.16
- если для всех из области определения этой функции, то функция является четной, например:
а) б)
Рис.17
Отметим,
что область определения и четной и нечетной функций симметрична
относительно начала координат. Как же ведут же себя графики функций? Как
видно из приведенных рисунков, график нечетной функции (Рис.16 а),б))
симметричен относительно начала координат (центральная симметрия), а
график четной функции (Рис.17 а),б),в)) симметричен относительно оси
ординат (осевая симметрия). Поэтому для построения графиков четной и
нечетной функций достаточно провести исследование свойств функции на
половине области определения данной функции. Далее, если функция четная -
воспользоваться осевой симметрией, если нечетная – центральной.
^
Использование симметрии при решении задач.
Решения многих задач значительно упрощаются, если использовать симметрию.
Рассмотрим пример использования центральной симметрии при решении задач на построение.
Задача. Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы:
а) отрезок этой прямой, заключенной внутри угла, делился данной точкой пополам.
б) прямая отсекала от угла треугольник наименьшей площади.
Рис.18
Решение:
а)
Пусть М – данная точка. Построим угол, центрально-симметричный данному
относительно точки М. Для этого достаточно построить точку О1,
центрально-симметричную вершине О данного угла, а затем провести через
эту точку прямые, параллельные его сторонам (рис.18). Пусть А и В –
точки пересечения этих прямых со сторонами угла. Тогда прямая АВ –
искомая.
В самом деле, точка А является точкой пересечения прямых ОА и О1А1, а точка В – точкой пересечения симметричных им, относительно точки М прямых О1В и ОВ, поэтому точки А и В симметричны относительно точки М, а значит АМ=МВ.
б) Вновь обратимся к рис.18 и докажем, что построенная нами прямая АВ – искомая.
В самом деле, проведем через точку М какую-нибудь другую прямую, пересекающую стороны данного угла в точках А1 и В1, и докажем, что площадь треугольника А1ОВ1 больше площади треугольника АОВ. Прямая А1В1
пересекает либо отрезок ОА, либо отрезок ОВ. Для определенности будем
считать, что она пересекает отрезок ОА. Тогда она пересекает и
симметричный ему относительно точки М отрезок О1В. Пусть С – точка пересечения А1В1 и О1В. Треугольники АА1М и ВСМ симметричны относительно точки М и, следовательно, равны. Поэтому площадь треугольника АОВ равна площади трапеции ОВСА1. Площадь же треугольника А1ОВ1 больше, так как она состоит из указанной трапеции и треугольника ВВ1С. Решение следующей задачи предполагает использование не только центральной, но и осевой симметрии.
Заключение С
симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке.
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого
творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и
математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и
скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в
своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются
принципам симметрии.
Существует множество видов симметрии как в
растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых
организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз
подчеркивает гармоничность нашего мира.
Симметрия в алгебре и
геометрии имеет большое значение. Я рассмотрела основные теории,
связанные с симметрическими системами уравнений. Научилась решать
симметрические системы уравнений, и узнала кое-что новое про симметрию
графиков функций. Выбранная тема актуальна, так как в средней школе не
рассматриваются все виды симметрий в алгебре и геометрии
Список использованной литературы: 1.Г. Вейль Симметрия, М., 2007
2.Энциклопедия для детей Математика, 2001г
3.Шубников А. В., Симметрия. (Законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве), М. — Л., 1978
4.Кокстер Г. С., Введение в геометрию, М., 1966
5. Болтянский В.Г., Виленкин Н.Я. Симметрия в алгебре. М.: Наука, 1967. 284 с.
6.Л. В. Тарасов. Этот удивительно симметричный мир. Москва. 7.Просвещение, 1982.
8.Биология. Учебное пособие для 6 класса).
9.Современный словарь иностранных слов:. — М.; Русский язык 1993, с. 557
10. Журнал «Математика в школе», №10, 2004г.
11. Журнал «Математика в школе», №9, 2005г.
12.. И.С. Петраков, «Математические кружки», Москва, «Просвещение», 1987 г.
, 
, 
.
поставим 
, и вместо 
; 
; 
и 
.
;
.
имеет корни 
и 
. Не решая этого уравнения, выразим через 
и 
суммы 
, 
. Выражение 
, а затем применим теорему Виета. 
.
.
равна 13. 
, т.к. 
, а 
, то получим 
.
.
и 
, то систему уравнений называют симметрической системой уравнений.
, 
.
с корнями 
.
, 
. Остается решить систему уравнений:
и б) 
; 
.
, то функция называется нечетной, например:
для всех 
